IME 2006 - Questões

Um trapézio $ABCD$, de base menor $AB$ e base maior $CD$, possui base média $MN$. Os pontos $M^\prime$ e $N^\prime$ dividem a base média em três segmentos iguais, na ordem $MM^\prime N^\prime N$. Ao se traçar as retas $AM^\prime$ e $BN^\prime$, verificou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado $CD$ no ponto $P$. Calcule a área do trapézio $M^\prime N^\prime CD$ em função da área de $ABCD$.

Determine os valores de $x$, $y$, $z$ e $r$ que satisfazem o sistema

$$C_{r+y}^r=log_y{x}$$

$$log_y{z}=4+ log_x{z}$$

$$C_{r+y}^y =log_x{z}+log_z{z}$$

onde $C_m^p$ representa a combinação de m elementos tomados $p$ a $p$ e $log_c^B$ representa o logaritmo de $B$ na base $c$.

Considere os pontos $A(-1,0)$ e $B(2,0)$ e seja $C$ uma circunferência de raio $R$ tangente ao eixo das abscissas na origem. A reta $r_1$ é tangente a $C$ e contém o ponto $A$ e a reta $r_2$ também é tangente a $C$ e contém o ponto $B$. Sabendo que a origem não pertence às retas $r_1$ e $r_2$ ,determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção de $r_1$ e $r_2$ ao se variar $R$ no intervalo $(0,∞)$.

Considere o polinômio

$$ \\ p( x)=x^5-3 x^4-3 x^3+27 x^2−44 x+30$$

Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a $3-i$ e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as raízes do polinômio.

Determine o conjunto solução $S={(x , y)∣x\wedge y\in \mathbb{Z}}$ da equação

$$(x + y)k = xy$$

sabendo que $k$ é um número primo.