IME 2001 Matemática - Questões

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Considere a figura abaixo, onde $\overline{AB} = \overline{AD} = 1{,} \ \overline{BC} = x{,} \ \overline{AC} = y{,} \ \overline{DE} = z$ e $\overline{AE} = w$. Os ângulos $D\hat{E}A$, $B\hat{C}A$ e $B\hat{F}A$ são retos.

a) Determine o comprimento de $\overline{AF}$ e de $\overline{BF}$ em função de $x$, $y$, $z$ e $w$.

b) Determine a tangente do ângulo $\alpha$ em função de $x$, $y$, $z$ e $w$.

Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráfica passa pelos pontos $P_{1}(-2{,} \ -11){,} \ P_{2}(-1{,} \ 0){,} \ P_{3}(1{,} \ 4)$ e $P_{4}(2{,} \ 9)$.

a) Determine os coeficientes do polinômio.

b) Calcule todas as raízes do polinômio.

Determine todos os números inteiros $m$ e $n$ para os quais o polinômio $2x^m + a^{3n}x^{m - 3n} - a^m$ é divisível por $x + a$.

Sejam $a$ e $b$ números reais positivos e diferentes de $1$. Dado o sistema abaixo:

$\begin{cases} a^x \cdot b^{1/y} = \sqrt{ab} \\ 2 \cdot \log_{a}{x} = \log_{1/b}{y} \cdot \log_{\sqrt{a}}{b} \end{cases}$

determine os valores de $x$ e $y$.

Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos $Z_1$ e $Z_2$ são ortogonais se e somente se:

$Z_{1} \overline{Z_{2}} + \overline{Z_{1}} Z_{2} = 0$

Obs: $\overline{Z}$ indica o conjugado de um número complexo $Z$.

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