IME 1994 - Questões

Seja um octógono convexo. Suponha que quando todas as suas diagonais são traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono?

Um aluno, ao inverter a matriz

$$A=\begin{array} =\begin{bmatrix}1& a& b& \\0& c& d&\\4& e& f \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}&, 1 \leq i, j \leq 3 \end{array}$$

cometeu um engano, e considerou o elemento $a_{13}$ igual a $3$, de forma que acabou invertendo a matriz

$$B =\begin{bmatrix}1& a& b \\0& c& d\\3& e& f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{ij} \end{bmatrix}$$

Com esse engano o aluno encontrou

$$B^{-1} =\begin{bmatrix}5/2& 0& -1/2 \\3& 1& -1\\-5/2& 0& 1/2 \end{bmatrix}$$

Determinar $A^{-1}$.

Sabendo que $\hat{A}$ , $\hat{B}$ e $\hat{C}$ são os ângulos internos de um triângulo, escreva as restrições que devem ser satisfeitas por este triângulo para que se verifique a igualdade abaixo.$$ \sin \hat{A} + \sin \hat{B} + \sin \hat{C} = 4 \cos \frac{\hat{A}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{C}}{2}$$

Seja $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função quadrática tal que $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Sabendo que $x_1 = -1$ e $x_2 = 5$ são raízes e que $f(1) = -8$, pede-se:

Seja $C$ um semi-círculo com centro $O$ e diâmetro $PQ = 2r$. Sobre o segmento $OP$, toma-se um ponto $N$ tal que $ON = x$, $0 \geq x \geq r$. Por $N$ traça-se uma reta perpendicular a $PQ$ que encontre o semi-círculo em $M$. A reta tangente ao semi-círculo em $M$ corta a reta $PQ$ em um ponto $T$: