[IME 1994] Seja C um semi-círculo com centro O...

09 IME 1994 - Matemática

Seja $C$ um semi-círculo com centro $O$ e diâmetro $PQ = 2 r$ . Sobre o segmento $OP$ , toma-se um ponto $N$ tal que $ON = x$ , $0 \geq x \geq r$ . Por $N$ traça-se uma reta perpendicular a $PQ$ que encontre o semi-círculo em $M$ . A reta tangente ao semi-círculo em $M$ corta a reta $PQ$ em um ponto $T$ :

a) Calcule, em função de $r$ e $x$ , o volume $V_{1}$ gerado pela rotação do triângulo $MPQ$ em torno de $PQ$ .

b) Calcule, em função de $r$ e $x$ , o volume $V_{2}$ gerado pela rotação do triângulo $MPT$ em torno de $PQ$ .

c) Considerando a razão $y = \frac{V _{2}}{V _{1}}$ , quando $x$ varia no intervalo $[0, r]$ , faça o esboço do respectivo gráfico.