IME 1983 - Questões
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Seja $F$ o conjunto das funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ que satisfazem $f(xy) = f(x) + f(y)$. Dados $f \in F$ e $a \in \mathbb{R}$ define-se a função $g_{a} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g_{a}(x) = f(ax) - f(x)$.
$a)$ Mostre que $f(1) = 0{,} \ \forall f \in F$.
$b)$ Mostre que $\forall a \in \mathbb{R}$, $g_{a}$ é função constante.
Dada a função $y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $y = \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 – 4}$:
$a)$ Estude a sua variação quanto a: continuidade, crescimento, assíntota e pontos notáveis, inclusive o ponto em que a curva corta a assíntota.
$b)$ Faça o esboço do gráfico da curva representativa da função.
Considere a função $f$ definida nos reais por $$f(x) = (x - 1) \ln{\mid x - 1 \mid } - x \ln{x}$$
a) Dê seu domínio e calcule $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$.
b) Dada a função $g$ definida nos reais por$$g(x) = \begin{cases} f(x){,} &\text{se} \ x \not\in \{0,1\} \\ 0, &\text{se} \ x \in \{0,1\} \end{cases}$$verifique se $g$ é contínua em $x = 1$ e se é derivável neste ponto.
Dada a equação $2mx^2 - 2x - 3m - 2 = 0$ , onde $m \in \mathbb{R}$:
$a)$ Determine $m$ tal que uma raiz seja nula; calcule a outra raiz.
$b)$ Mostre que a equação dada tem sempre duas raízes distintas.
$c)$ Determine $m$ para que uma raiz seja inferior a $1$ e a outra seja superior a $1$.
Seja $m$ um inteiro positivo. Define-se uma relação $\Theta_{m}$ por$$R_{\Theta_{m}} = \{(i,j) \ \mid \ i = j + km{,} \ k \ \text{inteiro} \}$$Mostre que $\Theta_{m}$ é uma relação de equivalência.
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