IME 1982 Matemática - Questões
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a) Seja a função:$$y = mx^2 - (1 + 8m)x + 4(4m + 1)$$ onde $m$ é um número dado, mas variável. Mostre que todas as curvas representativas da questão passam por um ponto $A$ fixo e que todas são tangentes entre si, neste ponto.
Calcule as coordenadas do ponto $A$ e dê a equação da tangente comum
b) Determine os dois valores de $m$ para os quais a razão entre as raízes da equação:$$mx^2 - (1 + 8m)x + 4(4m + 1) = 0$$é igual a $(-\frac{1}{4})$.
Sejam duas retas paralelas $(r)$ e $(s)$, e um segmento $AB$ ($A$ pertencente a $(r)$ e $B$ pertencente a $(s)$), perpendicular a ambas. Sobre $(r)$ e $(s)$, e à direita de $AB$, marcam-se os pontos $C$ e $D$, tais que $\overline{AC} \cdot \overline{BD}= \frac{\overline{AB}^2}{4}$. Tomando-se $C$ e $D$ como centros, traçam-se os círculos $(c)$ e $(d)$ tangentes a $AB$.
a) Sendo $O$ o meio de $AB$, mostre que o triângulo $COD$ é retângulo e que $(c)$ e $(d)$ são tangentes entre si em um ponto $M$, cujo lugar geométrico é pedido.
b) Prolongando-se $AM$ até $B^\prime$, pertencente a $(s)$, e $BM$ até $A^\prime$, pertencente a $(r)$, calcule $AC$, tal que $AA^\prime + BB^\prime = 4AB$.
Seja $M_n(R)$ o conjunto de matrizes quadradas de ordem $n$, de coeficientes reais. Define-se a função,$$\Psi : M_n(R) \times M_n(R) \to M_n(R) \text{ por}$$$$\Psi(A, B) = AB - BA$$Calcule:$$\Psi(\Psi(A, B), C) + \Psi(\Psi(B, C), A) + \Psi(\Psi(C, A), B)$$
Dado um retângulo ABCD, de lados $a$ e $b$, divide-se a diagonal $BD$ em $n$ segmentos iguais, marcando-se os pontos $M_1$, $M_2$, $\cdots$ , $M_{n-1}$ (na ordem $B$, $M_1$, $M_2$, $\cdots$ , $M_{n-1}$, $D$). Estabeleça a expressão geral dos segmentos $\overline{CM_k} = \ell_k, k = 1, 2, \cdots , n – 1$, em função de $a$, $b$, $n$ e $k$.
Dado o número $m = 2^4 \times 3^3 \times 5^2$, determine quantos números inteiros positivos não maiores que $m$ são primos relativos com $m$.
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