[IME 1982] Sejam duas retas paralelas (r) e (s...

01 IME 1982 - Matemática

Sejam duas retas paralelas $(r)$ e $(s)$ , e um segmento $A B$ ( $A$ pertencente a $(r)$ e $B$ pertencente a $(s)$ ), perpendicular a ambas. Sobre $(r)$ e $(s)$ , e à direita de $A B$ , marcam-se os pontos $C$ e $D$ , tais que $\overline{A C} \cdot \overline{B D} = \frac{A B ^{2}}{4}$ . Tomando-se $C$ e $D$ como centros, traçam-se os círculos $(c)$ e $(d)$ tangentes a $A B$ .

a) Sendo $O$ o meio de $A B$ , mostre que o triângulo $CO D$ é retângulo e que $(c)$ e $(d)$ são tangentes entre si em um ponto $M$ , cujo lugar geométrico é pedido.

b) Prolongando-se $A M$ até $B^{'}$ , pertencente a $(s)$ , e $BM$ até $A^{'}$ , pertencente a $(r)$ , calcule $A C$ , tal que $A A^{'} + B B^{'} = 4 A B$ .