IME 1977 Matemática - Questões
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a) Seja $x \in \mathbb{R}$. Determine o conjunto $A$, onde $A \subset \mathbb{R}$, domínio de definição da função $f$, onde
$f : x \longrightarrow \log_{2}{(x^2 - x - 1)}$
b) Seja
$f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, $x \longrightarrow \det{ \begin{pmatrix} \sin{x} & \cos{x} \\ e^x & x \end{pmatrix}}$
Desenvolva a função $f$ dada, em torno da origem, com uso da fórmula de Taylor até o termo de segundo grau em $x$.
De um ponto exterior $E$ a um círculo $O$ qualquer traçam-se duas tangentes $t$ e $t^{\prime}$ a esse círculo e os pontos de tangência $P$ e $P^{\prime}$. O ângulo $P\hat{E}P^{\prime}$ mede $140^ °$. De $P$ traça-se a corda $PA$ cujo arco mede $10^{\prime}$ no sentido do maior arco $PP^{\prime}$ sobre o círculo. De $A$ traça-se a corda $AB$ cujo arco mede $30^°$, no mesmo sentido do arco $PA$. Pedem-se:
$a)$ O ângulo $E\hat{P}P^{\prime}$.
$b)$ O ângulo $B\hat{P}^{\prime}E$.
$c)$ O número de lados do polígono inscrito no círculo $O$ cujo lado é a corda $BP$.
Sejam $x_1$ e $x_2$ raízes da equação$$x^2 - (a + d)x + ad - bc = 0$$onde $a{,} \ b{,} \ c{,} \ d \in \mathbb{R}$. Determine $A$ de modo que $x^{3}_{1}$ e $x^{3}_{2}$ sejam raízes da equação:$$y^2 - (a^3 + d^3 + 3abc + 3bcd)y + A = 0$$
Traçam-se dois círculos de raio $r$ e centros em $O$ e $O^{\prime} \ (OO^{\prime} = r)$ que se cortam em $I$ e $J$. Com centro em $I$ e raio $2r$ traça-se um arco de círculo que tangencia $O$ em $A$ e $O^{\prime}$ em $A^{\prime}$. Com centro em $J$ e raio $2r$ traça-se um arco de círculo que tangencia $O$ em $B$ e $O^{\prime}$ em $B^{\prime}$. Em $O$ o diâmetro $O^{\prime} O$ tem a outra extremidade em $C$; em $O^{\prime}$ o diâmetro $OO^{\prime}$ tem a outra extremidade em $C^{\prime}$. Os arcos $\overset{\frown}{AA^{\prime}}$, $\overset{\frown}{A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}}$, $\overset{\frown}{B^{\prime}B}^{\prime}$ e $\overset{\frown}{BCA}$ formam uma oval com quatro centros. Pede-se a área desta oval em função de $r$.
Sejam $A{,} \ B \in \mathbb{R}^{2}$ de coordenadas cartesianas $(2{,} \ 5)$ e $(1{,} \ 3)$, vértices fixos de um conjunto de triângulos de área $12$. Determine a equação do lugar geométrico do conjunto de pontos $C$, terceiro vértice destes triângulos.
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