IME 1976 Matemática - Questões
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Considere um conjunto $E$ e três de seus subconjuntos $A$, $B$, $C$. Sendo $M$ um subconjunto de $E$, represente por $M_E$ o seu complemento em relação a $E$. Determine $E$ e os subconjuntos $A$, $B$, $C$, sabendo que $A$ e $C$ são disjuntos e que: $$(A \cup B \cup X)_E = \{4,6\}\cdots(1)$$ $$B \cap C = \{7\}\cdots(2)$$ $$A \cup B = \{1, 2, 7, 9, 10\}\cdots(3)$$ $$A \cup C = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}\cdots(4)$$ $$B_E = \{3, 4, 5, 6, 8, 9\}\cdots(5)$$
Considere um triângulo $ABC$, com os ângulos internos representados por $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$. São dados:$$\tan{\frac{\hat{B}}{2}} = m\ \text{e}\ \tan{\frac{\hat{C}}{2}} = N$$
a) Determine $\tan{\frac{\hat{A}}{2}}$ em função de $m$ e $n$, especificando a condição a ser imposta ao produto $mn$ para que o triângulo $ABC$ exista.
b) Determine o valor do produto $mn$, para que o lado oposto ao ângulo $\hat{A}$ seja igual à média aritmética dos outros dois lados.
As partes real e complexa de um ponto $z = x +yi$ do plano complexo são representadas, respectivamente, por: $$x = \text{Re}(z)\ \text{e}\ y = \text{Im}(z)$$Dados dois pontos do plano complexo, $z_1=2 +3i$ e $z_2= 4 + 5i$, determine e esboce o lugar geométrico dos pontos do plano complexo que satisfazem a relação: $$\text{Re}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0\ \text{com} \ z \neq z_2$$
Considere um triângulo equilátero $ABC$ e um ponto $M$ em seu interior. A partir de $M$ traçam-se três retas perpendiculares aos lados do triângulo $ABC$. Estas retas encontram os lados $BC$, $CA$ e $AB$ do triângulo nos pontos $D$, $E$ e $F$, respectivamente. Sabendo que $$\frac{\overline{MF}}{2} = \frac{\overline{ME}}{3} = \frac{\overline{MD}}{5}$$e que o raio da circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$ é igual a $20$ metros, calcule a área do triângulo $AEF$.
Sendo $$A = \left(\frac{1^{\frac{1}{n}} + 2^{\frac{1}{n}} + 3^{\frac{1}{n}}}{3}\right)^n$$
calcule, caso exista, $lim_{n \to \infty}{A}$.
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