IME 1972 Matemática - Questões

Seja $E$ a elipse de equação$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$e $t$ uma tangente variável.

Sejam $M \ (x^{\prime}, 0)$ e $N \ (0, y ^{\prime})$ as interseções de $t$ com os eixos coordenados $Ox$ e $Oy$, respectivamente.

Determine a equação cartesiana do lugar geométrico descrito pelo ponto $P\ (x^{\prime}, y^{\prime})$ e esboce o seu gráfico.

Determinar os valores do arco $x$ que satisfazem a equação:$$\sin{x} = \sqrt{3}(\sec{x} - \cos{x})$$

Seja $m \in \mathbb{R}$, fixado, e$$(k + 1)^2\cdotp y^2 + x^2 + 2 \cdotp (k - 1) \cdotp xy + mk^2y = 0$$a equação cartesiana de uma família $F$ de cônicas de parâmetro $k$.

Determine a equação cartesiana do lugar geométrico dos centros das cônicas da família $F$.

Calcular o lado $c$ dos triângulos que tenham:$$a = 4 \ cm$$$$b = 4(1 + \sqrt{3}) \ cm$$$$\hat{A} = 15^{\circ}$$

Sejam $b \in Z_+$, $b > 1$ e $M \in N$. Suponhamos $M$ expresso sob a forma$$M = a_{p}b^p + a_{p-1}b^{p-1} + \ldots + a_2b^2 + a_1b^2 + a_0$$onde os coeficientes satisfazem a relação$$0 \leq ai \leq b - 1, \forall i \in {0{,} \ 1{,} \ 2{,} \ldots{,} \ p}$$

Dizemos, então, que a representação de $M$ na base de numeração $b$ é$$M = (a_{p}a_{p-1} \cdots a_{2}a_{1}a_{0})_{b}{,}$$onde o índice $b$ indica a base considerada.