[IME 1972] Sejam b∈Z+, b>1 e M∈N. Suponhamos ...

03 IME 1972 - Matemática

Sejam $b \in Z_{+}$ , $b > 1$ e $M \in N$ . Suponhamos $M$ expresso sob a forma $M = a_{p} b^{p} + a_{p - 1} b^{p - 1} + \dots + a_{2} b^{2} + a_{1} b^{2} + a_{0}$ onde os coeficientes satisfazem a relação $0 \leq ai \leq b - 1, \forall i \in 0, 1, 2, \dots, p$

Dizemos, então, que a representação de $M$ na base de numeração $b$ é $M = (a_{p} a_{p - 1} \dots a_{2} a_{1} a_{0})_{b},$ onde o índice $b$ indica a base considerada.

a) Determine, com a notação exposta acima, a representação de $1347$ na base $10$ e de $929$ na base $5$ .

b) Determine em que base(s) de numeração é verificada a igualdade $(2002)_{b} + (21)_{5} = (220)_{b} + (1121)_{b}$

c) Mostre que se $M = (14641)_{b}$ , então independentemente da base considerada, $M$ é quadrado perfeito. Determine a representação de $M$ na base $(b + 1)$ .

Determine a representação de $M = (14654)_{b}$ na base $(b + 1)$ .