IME 1958 - Questões

Sendo $p$ uma raiz complexa de uma equação algébrica do $2^\circ$ grau, de coeficientes reais, determinar o valor da expressão:$$ P = \frac{p+q}{pq}. \frac{p^2+q^2}{p^{2}q^{2}}. \frac{p^{3}+q^{3}}{p^{3}q^{3}}.\frac{p^{4}+q^{4}}{p^{4}q^{4}}.... \frac{p^{n}+q^{n}}{p^{n}q^{n}} $$

onde $q$ é a outra raiz da equação, em função do módulo e do argumento do complexo $p$.

Resolver o sistema:$$ \begin{cases} e^{-\ln (1/x)} + \text{anti.}\ln \left(\frac{\log x^2}{\log e}\right) + \log 10^{-6} = 0 \\ e^{xy} - e^{-xy} = \sqrt{12} \end{cases} $$

Sabendo que $x_1$ e $x_2$ são raízes de uma equação do $2^{o}$ grau ($x_1 > x_2 > 0$), determinar, em função dos coeficientes da equação, a soma da série regular:$$ \sum \left[\frac{x_2}{x_1}\right]^{n-1} $$

Calcular o valor numérico da expressão determinada acima, sabendo que $x_1$ e $x_2$ são raízes da equação$$ 10Sx- 7S+ 8=0$$ onde S é a soma da série regular $ \sum nx^{n-1} $ para $ |x| < 1$.

Sendo $ a> 1$ e $b> 1$, estabelecer a relação entre $a$ e $b$ na equação: $$ a^{\log b}.a^{\log b^2}.a^{\log b^3}.a^{\log b^4}....a^{\log b^x} = b^{6x \log a – 0,5.\log b} $$para que, sendo $x_1$ e $x_2$ raízes da equação, se verifique a igualdade$$ \log x_1 = 1- \log x_2 $$

Sendo $$x= -\log_{0,25}\sqrt[3]{128}$$ $$ \log_{2}{y} = \frac{3}{2} + \log_4 (y + \frac{9}{8})$$ $$y > 0$$ Determinar dois complexos, sabendo-se que:

• (i) Sua soma é $x+yi$.

• (ii) A relação entre eles é um imaginário puro.

• (iii) A parte real de um deles é $ \frac{7 + \sqrt{1201}}{12}$.