IME 1946 - Questões
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a) Sendo $ log\,0,35 = \bar{1},5441$ e $log\, 0,7^8 = \bar{2},7608$, determinar o logaritmo de $\sqrt[5] {0,25}$.
b) Em um saco há $4$ bolas brancas e $6$ pretas.
(i) De quantos modos poderemos extrair $5$ bolas, sendo $2$ brancas e $3$ pretas?
(ii) De quantos modos poderemos retirar $5$ bolas, sendo todas pretas?
c) Achar a derivada da função
$y=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$,
reduzindo-a à forma mais simples.
a) Quais são os complexos diferentes, cujas quintas potências coincidem com eles próprios?
Obs: Adotar a representação trigonométrica.
b) Dadas as equações $ax^2+bx+c = 0$ e $mx^2+nx+p = 0$, que admitem uma raiz comum, achar a expressão dessa raiz, sabendo que $an − bm \neq 0$.
a) Calcular a soma da série: $u_1 + u_2 + ... + u_n$ cujo termo geral é $u_n=\frac{a}{2^{2n-2}}+\frac{b}{2^{2n}}$
b) A que condições devem satisfazer $k$ e $n$ para que o sistema:
$\begin{cases}3x + 2y + z = 4\\x + ky + z = n\\x + y + 2z = 2\end{cases}$
seja:
(i) Determinado.
(ii) Indeterminado.
(iii) Incompatível.
Obs: Fazer a discussão com emprego de determinantes.
Um tetraedro, cujos lados da base medem $6$, $10$ e $8$ metros, tem arestas laterais com comprimento de $13$ metros cada uma. Calcular a altura desse poliedro em relação à base considerada.
A que distância do centro se deve cortar uma esfera $E$, por um plano secante $P$, de modo que volume da esfera seja igual a quatro vezes a soma dos volumes de dois cones, tais que:
(i) A base comum seja a interseção de $P$ com $E$.
(ii) As geratrizes de um deles sejam tangentes à esfera.
(iii) O vértice do outro coincida com o centro da esfera.
Exprimir a distância pedida em função do raio da esfera.
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