Solução 1: determinar os vértices, as distâncias entre eles e utilizar a fórmula de Heron. O ponto simétrico de $P$ em relação ao eixo $x$ é $P' = (4,-2)$ . Sejam $a = \sqrt{(4-a)^2 + 4 \space}$, $b = 4$ e $c = \sqrt{(4-a)^2 + 4 \space}$, respectivamente, as distâncias $QP$, $PP'$ e $QP'$. Como $a$ e $c$ são iguais, chamemos $\color{green}{a=c=l}$ . Seja $p = \Large{\frac{b+2l}{2}}$ $= \space l+2$ a semi-soma dos lados do triângulo $QPP'$ . Pela fórmula de Heron, a área $|QPP'| = 16$ do triângulo é assim calculada:$$|QPP'| = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)\space} = \sqrt{(l+2)(2)(l-2)(2)\space} = 2\cdot \sqrt{l^2-4 \space}$$$$l^2 = (4-a)^2 + 4 \implies |QPP'| = 2\cdot |4-a| = 16$$$$|4-a| = 8, \space \space a<0, \space \space \boxed{a = -4}$$ Solução 2: tratamento vetorial. Seja $\vec {QP} = (4-a, \space 2)$ a coordenada do vetor formado pelos pontos $Q$ e $P$ . Seja $\vec {QP'} = (4-a, \space -2)$ a coordenada do vetor formado pelos pontos $Q$ e $P'$ . $$\Delta = \begin{vmatrix} 4-a&& 2 \\ 4-a && -2\end{vmatrix} = 4a-16 $$A área $|QPP'|$ do triângulo é$$|QPP'| = \frac{|\Delta|}{2} = 16 \implies |4a-16| = 32 \implies a=4\space \pm\space 8$$$$a<0 \implies \boxed{a = -4}$$