Primeiramente, da equação: $$\tan{ (\arctan(z) + \arctan(z+1)) }= \tan{\bigg( \arctan\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg) \bigg)} \Rightarrow$$ Pela fórmula da tangente da soma, $$\dfrac{z + (z+1)}{1-z(z+1)} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow$$ $$6z + 3 = 4 - 4z - 4z^2 \Rightarrow 4z^2 + 10z - 1 = 0$$ Tal equação tem raízes: $$z = \dfrac{-5 \pm \sqrt{29}}{4}$$ Contudo, para o caso em que escolhemos o sinal negativo, temos que $z < 0$ e $z + 1 < 0$. Ou seja, $\arctan{z}$ e $\arctan{(z+1)}$ são negativos e logo sua soma também é negativa. Mas $\arctan{\dfrac{4}{3}}$ é positivo, o que é um absurdo, logo, não podemos ter a solução com $z$ negativo. Ou seja, existe apenas uma solução real, sendo esta positiva.