Vamos começar resolvendo a equação $2^{4033}Z^2 - 2^{2017}Z+1=0$ Repare que $2017\times 2 = 4034$. Então para obter esse $4034$ na equação, basta multiplicar ambos os membros dela por $2$. Assim: $$2^{4034}Z^2 - 2\cdot 2^{2017}Z+2=0$$ Isso permite fazer uma substituição simples, criando a nova variável $u$ tal que $u=2^{2017}\cdot z$. Ficaremos com: $$u^2 - 2u+2=0$$ Resolvendo a equação acima, ficamos com $u = 1\pm i$ Voltando à definição de $u$, teremos: $$2^{2017}\cdot z = 1\pm i$$ De modo que $\text{Im }z = \pm\dfrac{1}{2^{2017}}$. Agora, para analisar a torre de logaritmos, usaremos a propriedade: $$\log_ba^c=c\log_ba$$ De modo que a torre é igual ao produto dos elementos que a constituem. Assim: $$\dfrac{1}{16}\cdot\log_{a^1}256\cdot(-\log_{a^2}256)\cdot\log_{a^4}256\cdots(-\log_{a^{(2^{65})}}256)=\text{Im }z$$ Escrevendo a expressão na forma de produtório: $$\dfrac{1}{16}\cdot\prod^{65}_{k=0}(-1)^k\log_{a^{2^k}}256=\text{Im }z$$ Agora, substituindo o valor que encontramos para $\text{Im }z$ e identificando que $\frac{1}{16}=2^{-4}$: $$\prod^{65}_{k=0}(-1)^k\log_{a^{2^k}}256 = \pm 2^{-2013}$$ Vamos pensar em outra propriedade dos logaritmos: $$\log_{\ b^c}a=\dfrac{1}{c}\cdot\log_{\ b}a$$ Aplicada na expressão anterior, ficaremos com: $$\prod^{65}_{k=0}(-1)^k\cdot\dfrac{1}{2^k}\cdot\log_{a}256 = \pm 2^{-2013}$$E aqui temos uma expressão muito mais fácil de manipular. Vamos analisar separando os termos: $$\prod^{65}_{k=0}(-1)^k\cdot\prod^{65}_{k=0}\dfrac{1}{2^k}\cdot\prod^{65}_{k=0}\log_{a}256 = \pm 2^{-2013}$$ Começando pelo $\textbf{primeiro termo}$: em um produto de números de mesma base, basta somar os expoentes. Então: $$\prod^{65}_{k=0}(-1)^k = (-1)^{\sum^{65}_{k=0}k}$$ Dado que $\sum^{65}_{k=0}k$ é uma soma de PA com primeiro termo $0$, último termo $65$ e razão $1$, isso dará: $$\sum^{65}_{k=0}k = \dfrac{(0+65)\cdot 66}{2}=2145$$ Portanto, como $2145$ é ímpar, o primeiro termo fica: $$\boxed{\prod^{65}_{k=0}(-1)^k = (-1)^{2145}=-1}$$ Vamos analisar o $\textbf{segundo termo}$:$$\prod^{65}_{k=0}\dfrac{1}{2^k}$$ Na mesma lógica da questão anterior, ficaremos com $$\boxed{\prod^{65}_{k=0}\dfrac{1}{2^k}=2^{-2145}}$$ Enfim, o $\textbf{terceiro termo}$ é apenas: $$\boxed{\prod^{65}_{k=0}\log_{a}256=\left(\log_{a}256\right)^{66}}$$ Juntando os termos e sabendo que $256=2^8$: $$-1\cdot 2^{-2145}\cdot\left(8\,\log_a 2\right)^{66}=\pm 2^{-2013}$$ Podemos já identificar que o membro da esquerda é negativo, fazendo que o membro da direita seja obrigatoriamente $-2^{-2013}$ (o valor positivo não convém). Simplificando as potências de $2$ envolvidas na equação: $$\left(\log_a 2\right)^{66}=2^{-66}$$ Extraindo a raiz $66$ª: $$\log_a 2 = \pm\dfrac{1}{2}$$ E como $a\in(0,1)$: $$\boxed{a=\dfrac{1}{4}\quad\text{Gab. A)}}$$ Linda questão!