Um banhista faz o lançamento horizontal de um objeto na velocidade igual a $5 \sqrt{3} \ m/s$ em direção a uma piscina. Após tocar a superfície da água, o objeto submerge até o fundo da piscina em velocidade horizontal desprezível. Em seguida, o banhista observa esse objeto em um ângulo de $30^{\circ}$ em relação ao horizonte. Admitindo-se que a altura de observação do banhista e do lançamento do objeto são iguais a $1{,}80 \ m$ em relação ao nível da água da piscina, a profundidade da piscina, em metros, é

Dados:
- índice de refração do ar: $n_{\text{ar}} = 1$;
- índice de refração da água: $n_{\text{agua}} = \frac{5 \sqrt{3}}{6}$

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Nicholas Admin 01/02/2022 00:04
Acompanhando o enunciado, podemos dividir o movimento do objeto em três etapas: $\quad 1ª$ - Lançamento horizontal no ponto $(0,1.8)\ m$ $\quad 2ª$ - Colisão com a água no ponto $(a, 0)\ m$ $\quad 3ª$ - Objeto afunda até o ponto $(a, h)\ m$ A questão pede para que determinemos a profundidade $h$ da piscina. Em primeiro lugar, podemos calcular a distância horizontal $a$ que o objeto percorre, recorrendo primeiro ao tempo de queda. Com uma queda de $1.8\ m$:$$y=y_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}\\ 0=1.8+0-\frac{10\cdot t^2}{2}\\ t=\sqrt{3.6}=0.6\ s$$Já para o movimento horizontal, com $v=5\sqrt{3}\ m/s$:$$x=x_0+vt\\ a=0+5\sqrt{3}\cdot 0.6\\ a=3\sqrt{3}\ m$$ E assim, após afundar, o objeto é observado com um ângulo de $30^{\circ}$ a partir do ponto $(0,1.8)\ m$, onde está o banhista. Significa que a distância horizontal entre o banhista e o ponto da superfície da piscina onde ocorre a refração é igual a$$b=\frac{1.8}{\tan{30^{\circ}}}=1.8\sqrt{3}\ m$$ Entre esse ponto $(b,0)$ e o ponto $(a,h)$ que o objeto se encontra após afundar, podemos imaginar um triângulo retângulo com catetos:$$\begin{cases}\text{Horizontal: }a-b=3\sqrt{3}-1.8\sqrt{3}=1.2\sqrt{3}\ m\\\text{Vertical: }h-0=h\end{cases}$$E, por Pitágoras, $$\text{Hipotenusa}=\sqrt{(1.2\sqrt{3})^2+h^2}=\sqrt{4.32+h^2}$$ E pela Lei de Snell, com ângulo de incidência de $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$, o ângulo de refração $\theta$ deve obedecer o seguinte. (nota: $30^{\circ}$ em relação ao horizonte significa $60^{\circ}$ em relação à normal):$$n_{\text{ar}}\cdot\sin{60^{\circ}}=n_{\text{agua}}\cdot\sin\theta\\ 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{6}\cdot\sin\theta\\\sin\theta=\frac{3}{5}$$ E como $\sin\theta=\dfrac{\text{Horizontal}}{\text{Hipotenusa}}$:$$\frac{3}{5}=\frac{1.8\sqrt{3}}{\sqrt{4.32+h^2}}$$Portanto, ficamos com:$$h=1.6\sqrt{3}\ m\quad\boxed{\text{Gab. C)}}$$
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