Reescrevamos os termos do binômio: $2^{\log_{2} \sqrt{9^{(x-1)}+7}} = \sqrt{9^{(x-1)}+7}$ $\large{\frac{1}{2^{\log_{2} \sqrt[5] {3^{(x-1)}+1}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{3^{(x-1)}+1}}}$ Agora, reescrevamos o binômio, bem como o termo geral da expansão:$$\left(\sqrt{9^{(x-1)}+7} + \frac{1}{\sqrt[5]{3^{(x-1)}+1}} \right)^7$$Agora, o termo geral:$$T_k = \binom{7}{k}\cdot \left[\sqrt{9^{(x-1)}+7} \right]^{7-k} \cdot \left[\sqrt[5]{3^{(x-1)}+1} \right]^{-k}$$O sexto termo ocorre quando $k = 5$, assim:$$T_5 = \underbrace{\binom{7}{5}}_{21}\cdot \frac{\left(9^{(x-1)}+7 \right)}{\left(3^{(x-1)}+1 \right)} = 84$$Seja $y = 3^{(x-1)}$, logo:$$\frac{\left(y^2+7 \right)}{\left(y+1 \right)} = 4 \implies y^2 + 7 = 4y + 4 \implies y^2 - 4y + 4 = 1$$Temos, portanto:$$(y-2)^2 = 1 \implies y = 2 \pm 1 = \{1,3\} = 3^{(x-1)}$$Assim, $x$ assume os seguintes valores:$$3^{(x-1)} = 1 \implies x = 1$$$$3^{(x-1)} = 3 \implies x = 2$$Soma dos valores de $x$ : $\boxed{1+2 = 3}$$$\text{Alternativa } \mathbb{(C)}$$