Tomando $x=y=z=1$, equação simultânea válida conforme as condições do enunciado, temos$$\arcsin(x) + \arcsin(y) +\arcsin(z) ~=~\arcsin(1) + \arcsin(1) +\arcsin(1)$$$$\arcsin(1) + \arcsin(1) +\arcsin(1) ~=~3\arcsin(1) ~=~\dfrac{3\pi}{2}$$Portanto$$x^{100}+y^{100}+z^{100} - \dfrac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}}~=~3-\dfrac{9}{3}~=~0$$$$\bf{Alternativa~(C)}$$