Perceba que $a_{1}$ pode ser escrito como $$a_{1} = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} \Rightarrow a_{1} = cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right).$$ É evidente que $a_{2}$ pode ser escrito como $$a_{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}a_{1}} = \sqrt{\dfrac{1+cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2}},$$ mas lembre-se que $cos (2x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 2cos^{2} (x) - 1 \Rightarrow cos (x) = \sqrt{\dfrac{1 + 2cos (2x)}{2}}$, logo perceba que $2x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{\pi}{12}$. Então $$a_{1} = cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\ a_{2} = cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\\ a_{3} = cos \left(\dfrac{\pi}{24}\right).$$ Portanto, o produto que desejamos calcular é $$P = cos \left(\dfrac{\pi}{2^{0} \cdot 6}\right) cos \left(\dfrac{\pi}{2^{1} \cdot 6}\right) cos \left(\dfrac{\pi}{2^{2} \cdot 6}\right) \dots \ cos \left(\dfrac{\pi}{2^{19} \cdot 6}\right) \cdot$$ Sabendo que $\dfrac{sin (2\alpha)}{2} = sin(\alpha) \ cos (\alpha)$, basta multiplicar a equação $P$ por $sin \left(\dfrac{\pi}{2^{19} \cdot 6}\right)$, que iremos chegar em $$\prod_{ k = 1 } ^{ 20 } cos \left(\dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{1}{2^{k-1}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2^{21} \cdot sin \left(\dfrac{\pi}{2^{19} \cdot 6}\right)}$$