Considere os números complexos e , onde é um número real. Mostre que, se , então e , onde e indicam, respectivamente, as partes real e imaginária de .
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Se $Z_2 = \cos(\alpha) - i\sin(\alpha)$, então $Z_1 = i\cdot Z_2$ , assim: $$Z = Z_1\cdot Z_2 \implies Z = i\cdot Z^2_2$$ Temos que: $i\cdot Z^2_2$ $=$ $i\cdot [\cos(2\alpha) - i\sin(2\alpha)]$ $=$ $\sin(2\alpha) + i\cos(2\alpha)$ .
Portanto: $Z = \sin(2\alpha) + i\cos(2\alpha)$ , mostrando que:
$Re(Z) = \sin(2\alpha)$ $\implies$ $-1\leq Re(Z) \leq 1$ e
$Im(Z) = \cos(2\alpha)$ $\implies$ $-1\leq Im(Z) \leq 1$ .
