Seja uma função tal que , onde e são, respectivamente, o conjunto dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de .
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$$S_1~=~\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} f(k)}~=~2008\left(\dfrac{n-1+1}{n-1+2}\right) \implies S_1~=~2008\cdot \dfrac{n}{n+1}$$$$S_2~=~\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} f(k)}~=~2008\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right) \implies S_2~=~2008\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)$$Observemos que$$S_2 - S_1~=~f(0)+f(1)+\cdots+f(n-1)+f(n)~-~(f(0)+f(1)+\cdots-f(n-1))$$Assim$$S_2-S_1 ~=~f(n)~=~2008\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)-2008\cdot \dfrac{n}{n+1}~=~2008\left(\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}\right)$$Logo$$f(n)~=~\dfrac{2008}{(n+1)(n+2)} \implies \dfrac{1}{f(n)}~=~\dfrac{(n+1)(n+2)}{2008}$$Portanto, encontra-se$$\boxed{\dfrac{1}{f(2006)}~=~2007}$$
