$a_2 =[\frac{2}{3}\cdot a_1]$ e $b_2 =[\frac{4}{5} \cdot b_1]$ ; $a_3 =[(\frac{2}{3})^{2} \cdot a_2]$ e $b_3 =[(\frac{4}{5})^{2} \cdot b_1]$ ; $a_4 =[(\frac{2}{3})^{3}\cdot a_1]$ e $b_4 =[(\frac{4}{5})^{3} \cdot b_1]$ $\cdots$ $\cdots$, isto implica que os catetos $a$ e $b$ têm formas enésimas: $a_n =[(\frac{2}{3})^{n-1}\cdot a_1]$ e $b_n =[(\frac{4}{5})^{n-1} \cdot b_1]$ Seja $S_{áreas}$ a soma de todas as áreas dos triângulos retângulos formados por esta lei de formação. Como $K\rightarrow \infty$, então: $S_{áreas}$ $=$ $\frac{1}{2}\cdot[(a_1 \cdot b_1) + (a_2 \cdot b_2) + (a_3 \cdot b_3) + \cdots \infty]$ $S_{áreas}$ $=$ $\frac{1}{2}\cdot[a_1 \cdot b_1 + (\frac{8}{15})\cdot a_1 \cdot b_1 + (\frac{8}{15})^2 \cdot a_1 \cdot b_1+ (\frac{8}{15})^3 \cdot a_1 \cdot b_1 + \cdots \infty]$ $S_{áreas}$ $=$ $\displaystyle \frac{a_1 \cdot b_1}{2}\cdot$$[1+(\frac{8}{15}) + (\frac{8}{15})^2 + (\frac{8}{15})^3 + \cdots \infty]$ $=$ $\displaystyle \frac{a_1 \cdot b_1}{2}\cdot \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{8}{15} \right)^i$ Em conclusão: $\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{8}{15} \right)^i=\frac{15}{7}$ e $\displaystyle \frac{a_1 \cdot b_1}{2}$ $=$ $\displaystyle \frac{30 \cdot 42}{2}$ $=$ $30\cdot7\cdot3$ $S_{áreas}$ $=$ $\displaystyle \frac{a_1 \cdot b_1}{2}\cdot \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{8}{15} \right)^i$ $=$ $\displaystyle\frac{15\cdot30\cdot \cancel{7} \cdot3}{\cancel{7}} $ $=$ $\boxed{1350cm^2}$