A solução "braçal" dessa questão $(a)$ é bem direta, isto é, analisar cada possibilidade para $f(1)$ e assim descobrir todas as opções - visto que para cada $f(1)$ se restringe o $f(2)$. No entanto, ao observar a questão $(b)$, nota-se que continuar este raciocínio é inviável. Ou seja, conclui-se que a questão $(a)$ é um caso inicial a fim de uma raciocínio mais rebuscado, logo, é de interesse abstrair alguma recorrência ou alguma ideia geral a partir dela. Comecemos por interpretar atentamente o comando; solicita-se todas as funções crescentes possíveis, o que equivale à:\begin{matrix} \begin{cases}f(1) \rightarrow x_1 \\ f(2) \rightarrow x_2 \\ f(3) \rightarrow x_3 \end{cases} &\Rightarrow& x_3 \ge x_2 \ge x_1 \end{matrix}Certo, isso é exatamente a definição que o enunciado nos deu, e nós já sabemos que definir $x_1$, $x_2$ ou $x_3$ para particular em casos não é interessante. Pois bem, a saída não deve ser particular, mas como generalizar? Ora, é só escolher dois elementos do contradomínio ao acaso e ver o que acontece, vamos supor que peguemos:\begin{matrix} x_1 =4 &\wedge& x_2 =2 &\wedge& x_3 =1 \end{matrix}Hmm... isso é inviável, porém é possível consertar, basta trocar os termos:\begin{matrix} x_1 =1 &\wedge& x_2 =2 &\wedge& x_3 =4 \end{matrix}Agora, sim! Observe, para cada caso inválido, sempre é possível rearranjar os termos a fim de uma $\text{ única solução possível}$. (Você pode pegar quaisquer outros números para se convencer!) Não é difícil, então, dizer que cada escolha de $x_1$, $x_2$ e $x_3$ é irrelevante; só nos interessa todos os modos que podemos escolher $3$ dos $n$ números possíveis, portanto, temos uma $\text{« combinação completa »}$. (Atente ao fato de ser incorreto realizar uma combinação simples $C_n^3$, visto que a escolha não é distinta: não queremos todas as formas de escolher $3$ números distintos de $n$, mas, sim, todas as formas de escolher $3$ números de $n$ - sendo válido, por exemplo, $x_1 = x_2 = x_3$). Em resumo, temos um resultado geral do tipo:\begin{matrix} CR_n^p = C_{n+p-1}^p \end{matrix}$• \ \text{a)}$ Aplicando o resultado que constatamos: \begin{matrix} CR_4^2 = C_{5}^2 = 10 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$• \ \text{b)}$ Aplicando o resultado que constatamos: \begin{matrix} CR_n^3 = C_{n+2}^3 = \dfrac{(n+2)!}{3!(n-1)!} = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}