Conhecido o termo geral da expansão binomial, têm-se: \begin{matrix} (1+ji)^{54} &\Rightarrow& T_{k+1} = { 54\choose k } \cdot (1)^{54-k} \cdot (ji)^{k} \end{matrix}Segundo enunciado, o termo $a_{kj}$ é igual ao k-ésimo termo do desenvolvimento, então: \begin{matrix} a_{kj} &=& T_{k} &=& { 54\choose k-1 } \cdot (1)^{55-k} \cdot (ji)^{k-1} \end{matrix}$• \ \text{a)}$ $\color{royalblue}{\text{-5724 + 54i}}$ \begin{matrix} a_{3,2} &\Rightarrow& k = 3 &,& j = 2 &\therefore& a_{3,2} &=& { 54\choose 2 } \cdot (2i)^{2} &=& -5724 \\ \\ a_{54,1} &\Rightarrow& k = 54 &,& j = 1 &\therefore& a_{54,1} &=& { 54\choose 53 } \cdot (i)^{53} &=& 54i \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} a_{3,2} + a_{54,1} = -5724 + 54i & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$• \ \text{b)}$ $\color{royalblue}{\text{(1+55i)$^{54}$}}$ A coluna $55$ é dada por $j = 55$, logo:\begin{matrix} \underset{k=1}{\overset{55}{\sum}}{a_{k,55}} &=& \underset{k=1}{\overset{55}{\sum}} { 54\choose k-1 } \cdot (55i)^{k-1} &=& (1+55i)^{54} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$\begin{matrix} (a+b)^n =\underset{p=0}{\overset{n}{\sum}} { n \choose p } \cdot a^{n-p} \cdot b^{p} &,& p = k-1 &\Rightarrow& (a+b)^n =\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} { n \choose k-1 } \cdot a^{n+1-k} \cdot b^{k-1} \end{matrix} $• \ \text{c)}$ $\color{royalblue}{a_{k,k} = { 54\choose k-1 } \cdot (i)^{k-1} \cdot (k)^{k-1} }$ Numa matriz, os elementos da diagonal principal são na forma $a_{k,k}$, por exemplo, numa matriz $3 \times 3$, os elementos da diagonal principal são: $a_{1,1} \ , \ a_{2,2} \ , \ a_{3,3}$. Desse modo, pelos resultados anteriores, podemos escrever: \begin{matrix} T_k &\overset{j=k}{=}&a_{k,k} &=& { 54\choose k-1 } \cdot (ki)^{k-1} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}