Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos $Z_1$ e $Z_2$ são ortogonais se e somente se:

$Z_{1} \overline{Z_{2}} + \overline{Z_{1}} Z_{2} = 0$

Obs: $\overline{Z}$ indica o conjugado de um número complexo $Z$.

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ITA IIIT 02/03/2022 15:33
$-$ A priori, sabemos que o argumento de um complexo é: \begin{matrix} arg(z) &=& \tan^{-1}{z} \end{matrix} $-$ Além disso, é sabido que: \begin{matrix} arg{(z.w)} = arg(z) + arg(w) &,& arg(\overline{z}) = -arg(z) \end{matrix} $-$ Dessa forma, segundo enunciado, os dois complexos são ortogonais, o que significa: \begin{matrix} (1):&& arg(z_1) - arg(z_2) &=& arg(z_1) + arg(\overline{z_2}) &=& arg{(z_1.\overline{z_2})}&=& \pm \frac{\pi}{2} \\ \\ (2):&& arg(z_2) - arg(z_1) &=&arg(z_1) + arg(\overline{z_2}) &=& arg{(z_2.\overline{z_1})} &=& \mp\frac{\pi}{2} \end{matrix} $-$ Fazendo $(1)+(2)$ , temos: \begin{matrix} arg{(z_1.\overline{z_2})} &+& arg{(z_2.\overline{z_1})} &=& 0 \\ \\ (z_1.\overline{z_2}) &+& (z_2.\overline{z_1}) &=& 0 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Visualizando uma situação ortogonal qualquer:
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