Se $\tan{a}$ e $\tan{b}$ são raízes da equação $x^2 + px + q = 0$, calcule, em função de $p$ e $q$, o valor simplificado da expressão:

$y = \sin^{2}{(a+b)} + p \cdot \sin{(a+b)} \cdot \cos{(a+b)} + q \cdot \cos^{2}{(a+b)}$


Considere $p{,} \ q \in \mathbb{R}$ com $q \neq 1$.

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ITA IIIT 14/03/2022 23:51
$-$ Com conhecimento das $\text{Fórmulas de Viète}$, além de claro, a $\text{tangente da soma}$: \begin{matrix} \begin{cases} \tan{a} + \tan{b} &= & - p \\ \tan{a} . \tan{b} &= & q \end{cases} &\Rightarrow& \tan{(a+b)} = \large{\frac{p}{q - 1}} &\Rightarrow& \sin{(a+b)} = \cos{(a+b)} \ . \ \large{\frac{p}{q - 1}} \end{matrix} $-$ Substituindo nosso resultado acima na expressão do enunciado, \begin{matrix} y &=& cos^2{(a+b)} \ . \ \frac{p^2}{(q - 1)^2}&+&\cos^2{(a+b)} \ . \ \frac{p^2}{q - 1} &+& q. \cos^2{(a+b)} \end{matrix} \begin{matrix} y &=& cos^2{(a+b)} \ . \ [ \ \frac{p^2}{(q - 1)^2} \ + \ \frac{p^2}{(q - 1)} \ + \ q \ ] &\Rightarrow& y &=& cos^2{(a+b)} \ . \ \large{[ \ \frac{p^2 \ + \ p^2.(q-1) \ + \ q(q-1)^2}{(q - 1)^2} \ ]} \end{matrix} \begin{matrix} y &=& cos^2{(a+b)} \ . \large{{ \ \frac{q \ . \ [p^2 + (q-1)^2] }{(q - 1)^2} \ }} &\Rightarrow& y &=& cos^2{(a+b)} \ . \ q \ . \ [ \ \tan^2{(a+b)} + 1 \ ] \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Da $\text{relação fundamental da trigonometria}$: \begin{matrix} \tan^2{(\alpha)} + 1 = \Large{\frac{1}{ \cos^2{(\alpha)}}} \end{matrix} $-$ Portanto, \begin{matrix}\fbox{$ y = q$} \end{matrix}
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