Considere os números complexos $z = x + y\cdot i$ e $w = y –x\cdot i$, cujos módulos são tais que $|z| = e^{|w|\cdot \frac{\sqrt3}{x}}$ e $|w| = e^{|z|\cdot \frac{1}{y}}$ , onde $e$ é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de $z^2$.

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ITA IIIT 28/02/2022 18:51
$-$ Fazendo o módulo dos números complexos do enunciado, temos: \begin{matrix} |z| = |w| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} e^{\large{|z|.\frac{1}{y}}} =e^{\large{|w|.\frac{\sqrt{3}}{x}}} &\Rightarrow& |z|.\frac{1}{y} = |w|.\frac{\sqrt{3}}{x} &\Rightarrow& \fbox{$x= y\sqrt{3}$} \end{matrix} $-$ Encontrando o módulo de $z^2$, têm-se a partir do enunciado: \begin{matrix} |z|^2 &=& e^{\large{|w|.\frac{2\sqrt{3}}{x}}} &=& e^{\pm4} \end{matrix} \begin{matrix} \color{gray}{ \fbox{$\begin{matrix} |w|.\frac{2\sqrt{3}}{x} &=& \sqrt{x^2 + y^2} \ . \ \frac{2\sqrt{3}}{y\sqrt{3}} &=& \large{\frac{4|y|}{y}}&=& \pm 4 \end{matrix}$}}\end{matrix} $-$ Agora, podemos encontrar o argumento $(\varphi)$ de $z$ como: \begin{matrix} \tan{\varphi} &=& \large{\frac{y}{x}} &=& \frac{\sqrt{3}}{3} &\Rightarrow& \fbox{$\varphi = 30^{\circ}$} \end{matrix} $-$ Por fim, pela $\text{Lei de Moivre}$ obtemos a forma polar de $z^2$ \begin{matrix} z^2 = |z|^2 \ . \ [\cos{(2\varphi)} +i\sin{(2\varphi)}] \\ \\ \fbox{$z^2 = e^{\pm 4} \ . \ (\cos{60^{\circ}} + i\sin{60^{\circ}})$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Veja que a resposta acima já é a representação da forma polar de um número complexo, entretanto, o gabarito consta a forma exponencial, que nada mais é que outra representação possível. Além disso, repare que estamos admitindo $y \ne 0$.
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