Fazendo o módulo dos números complexos do enunciado, temos: \begin{matrix} |z| = |w| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} e^{{|z|\cdot \frac{1}{y}}} =e^{{|w|\cdot \frac{\sqrt{3}}{x}}} &\Rightarrow& |z|\cdot \dfrac{1}{y} = |w|\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{x} &\Rightarrow& \fbox{$x= y\sqrt{3}$} \end{matrix}Encontrando o módulo de $z^2$, têm-se a partir do enunciado: \begin{matrix} |z|^2 &=& e^{{|w|\cdot \frac{2\sqrt{3}}{x}}} &=& e^{\pm4} \end{matrix} \begin{matrix} \color{gray}{ \fbox{$\begin{matrix} |w|\cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{x} &=& \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{y\sqrt{3}} &=& {\dfrac{4|y|}{y}}&=& \pm 4 \end{matrix}$}}\end{matrix}Agora, podemos encontrar o argumento $(\varphi)$ de $z$ como: \begin{matrix} \tan{\varphi} &=& {\dfrac{y}{x}} &=& \dfrac{\sqrt{3}}{3} &\Rightarrow& \fbox{$\varphi = 30^{\circ}$} \end{matrix}Por fim, pela $\text{Lei de Moivre}$ obtemos a forma polar de $z^2$ \begin{matrix} z^2 = |z|^2 \cdot [\cos{(2\varphi)} +i\sin{(2\varphi)}] \\ \\ \fbox{$z^2 = e^{\pm 4} \cdot (\cos{60^{\circ}} + i\sin{60^{\circ}})$} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Veja que a resposta acima já é a representação da forma polar de um número complexo, entretanto, o gabarito consta a forma exponencial, que nada mais é que outra representação possível. Além disso, repare que estamos admitindo $y \ne 0$.