Na figura abaixo, o bloco $A$ é um cubo de aresta $a$ e massa específica $\rho$.

Sua face superior e esquerda está coberta por uma fina placa metálica de massa desprezível, paralela a uma placa quadrada $P$, metálica, de lado $a$, fixada na rampa, a uma distância $d_0$ do bloco, o qual oscila sem atrito sobre a rampa partindo da posição indicada na figura.

Sabendo que a aceleração da gravidade é $g$, a permissividade do ar é $\varepsilon_0$ e a capacitância mínima entre as placas é $C$, determine a expressão literal da constante da mola $K$ (no instante da figura, a força da mola é nula).

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ITA IIIT 20/03/2022 15:29
$-$ Segundo enunciado, a capacitância deve ser mínima, isto é, a expressão: $C = \large{\frac{\epsilon \ . \ A}{d}}$ deve tender ao mínimo. Atente que, $\epsilon$ e $A$ são constantes, o que implica a necessidade de $d$ ser o maior possível. Nessa perspectiva, sabemos que $d>d_0$, pois a mola irá se comprimir $\Delta x$, sendo assim: $d - d_o =\Delta x$ Com isso, comecemos encontrando $\Delta x$, mas antes, repare na imagem que esboça a situação.
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Agora, pela conservação da energia mecânica, temos: \begin{matrix} mg\Delta h = \large{\frac{K(\Delta x)^2}{2}} &\Rightarrow& K =\large{ \frac{2mg\sin{\alpha}}{\Delta x}} &\color{royalblue}{,}& \color{royalblue}{\Delta h = \Delta x\sin{\alpha}} \end{matrix} Continuando, \begin{matrix}K =\large{ \frac{2mg\sin{\alpha}}{d - d_0}} &\Rightarrow& K =\large{ \frac{C(2mg\sin{\alpha})}{\epsilon_0 a^2- Cd_0}} &\color{royalblue}{,}& \color{royalblue}{C = \large{\frac{\epsilon_0 \ . \ a^2}{d}}} \end{matrix} Como $\rho = m/a^3$ \begin{matrix} & K =\Large{ \frac{C(2\rho a^3g\sin{\alpha})}{\epsilon_0 a^2- Cd_0}} \end{matrix}
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