Sejam $E_0 = [0, 1]$ e $f_1$, $f_2: E_0 \to E_0$ funções definidas por $f_1(x) = \frac{1}{3}x$ e $f_2(x) = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$. Se $\mathbb{P}(E_0)$ é o conjunto das partes de $E_0$, seja $F : \mathbb{P}(E_0) \to \mathbb{P}(E_0)$ a função definida por $F(A) = f_1(A) \cup f_2(A)$, onde $f_i(A)$ é a imagem de $A$ por $f_i$, $i = 1$, $2$. Agora, para cada $n \geq 1$ definimos $E_n = F(E_{n−1})$.
a) Esboce graficamente $E_0$, $E_1$, $E_2$ e $E_3$. Mostre que $E_n \subset E_{n−1}$.
b) Calcule $\lim_{n\to \infty}{|E_n|}$, onde $|E_n|$ é a soma dos comprimentos dos intervalos que formam $E_n$.
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