[IME 1992] Sejam E0=[0,1] e f1, f2:E0→E0 ...

10 IME 1992 - Matemática

Sejam $E_{0} = [0, 1]$ e $f_{1}$ , $f_{2} : E_{0} \to E_{0}$ funções definidas por $f_{1} (x) = \frac{1}{3} x$ e $f_{2} (x) = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ . Se $P (E_{0})$ é o conjunto das partes de $E_{0}$ , seja $F : P (E_{0}) \to P (E_{0})$ a função definida por $F (A) = f_{1} (A) \cup f_{2} (A)$ , onde $f_{i} (A)$ é a imagem de $A$ por $f_{i}$ , $i = 1$ , $2$ . Agora, para cada $n \geq 1$ definimos $E_{n} = F (E_{n - 1})$ .

a) Esboce graficamente $E_{0}$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ e $E_{3}$ . Mostre que $E_{n} \subset E_{n - 1}$ .

b) Calcule $lim_{n \to \infty} ∣ E_{n} ∣$ , onde $∣ E_{n} ∣$ é a soma dos comprimentos dos intervalos que formam $E_{n}$ .