Primeiramente, iremos somar os elementos respectivos de cada coluna e substituir pela primeira coluna (essa operação não muda o valor do determinante) $$D_n =\begin{vmatrix}m \cdot n+x& m& m& m& \cdots& m \\ m \cdot n+x& m+x& m& m& \cdots & m \\ m \cdot n+x& m& m+x& m& \cdots & m \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m \cdot n+x& m& m&m& \cdots& m+x \end{vmatrix}$$ podemos agora deixar em evidência o termo $m \cdot n + x$: $$D_n =(m \cdot n +x)\begin{vmatrix}1& m& m& m& \cdots& m \\ 1& m+x& m& m& \cdots & m \\ 1& m& m+x& m& \cdots & m \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 1& m& m&m& \cdots& m+x \end{vmatrix}$$ Observe agora que, em relação à primeira linha, todas as demais diferem por apenas um termo. Isso sugere fortemente que nós façamos a subtração entre cada linha e a primeira, pois sobraria apenas um termo não nulo em cada linha, o que facilita o cálculo do determinante. Assim, Subtraindo cada linha (a partir da segunda) pela primeira e substituindo essa linha resultante pela linha original: $$D_n =(m \cdot n +x)\begin{vmatrix}1& m& m& m& \cdots& m \\ 0& x& 0& 0& \cdots & 0 \\ 0& 0& x& 0& \cdots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0& 0&0& \cdots& x \end{vmatrix}$$ A matriz resultante é triangular, e portanto seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, que no caso é $$x^{n-1}$$Portanto $$D_n = (m \cdot n + x) x^{n-1}$$