Vamos mostrar que $f(n) = 2n - 1$ para todo $n$ natural. Podemos proceder por indução forte em $n$ da seguinte forma: -Base: $n = 1 \Rightarrow f(1) = 1 = 2\cdot 1 - 1$ e $n = 2 \Rightarrow f(2) = 2\cdot 1 +1 = 3 = 2\cdot 2 - 1$ -Hipótese: suponhamos que vale para todo $i \le 2k - 2 = 2(k-1)$, $i$ natural. Mostraremos que vale então para $2k-1$ e $2k = 2[(k-1) + 1]$. Como vale para todo $i \le 2k-2$, em particular para $i = k$, $f(k) = 2k -1$. Logo, $f(2k-1) = f(f(k)) = 4k - 1 = 2(2k-1) - 1$ e está provado para $2k-1$. Da mesma forma, para $i = k$, $f(2k) = 2f(k)+1 = 2(2k-1) + 1 = 2(2k) - 1$. Assim, podemos "preencher" os naturais pulando em múltiplos de $2$ e seus consecutivos. Finalmente: $$f(1990) = 2\cdot 1990 - 1 = 3979$$

Percebe-se que: se $f(1)=1=2^1 - 1$ e $f(2n)=2\cdot f(n) + 1$, então: $\left\{ \begin{array}{rc} f(2) = 2\cdot (2^1 - 1) +1 \\ f(4)=2\cdot (2^2 - 1)+1 \\ f(8)=2\cdot (2^3 - 1)+1 \\ \end{array}\right.$ $\implies$ $\left\{ \begin{array}{rc} f(2) = 2^2 - 1 \\ f(4) = 2^3 - 1 \\ f(8) = 2^4 - 1 \\ \end{array}\right.$ $\implies$ $f(2^n)=2\cdot 2^{n}-1$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ Logo, $f$ é da forma $f(k)=2k-1$. Então: $\boxed{f(1990) = 2\cdot 1990 -1 = 3979}$