$a)$ $•$ Observe que cada $m$ determina exclusivamente uma reta $•$ Fixado o ponto $M$ queremos que exista mais de uma reta que passe por ele, logo, devem existir no mínimo $m_1$ e $m_2$ soluções da equação $y_0 = mx_0- \dfrac{p(1+m^2)}{2m}$ $•$ Observe que a equação acima é uma equação de segundo grau em $m$: $$(2x_0 - p) \cdot m^2 - 2y_0 \cdot m - p = 0$$ $•$ Para que existam duas soluções, devemos ter $\Delta > 0 \Rightarrow $ $$\Rightarrow 4y_0^2 + 4p(2x_0 - p) >0 \Rightarrow x_0 > -\dfrac{y_0^2}{2p} + \dfrac{p}{2}$$ $b)$ $•$ Lembrando que, se os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares entre são tais que sua multiplicação é igual a $-1$ $•$ Podemos então usar as duas próximas equações para isolar o $m$ e encontrar uma equação que envolva apenas $x,y$ e $p$: $$\begin{cases} y = mx- \dfrac{p(1+m^2)}{2m} \\ y = -\dfrac{1}{m}\cdot x- \dfrac{p(1+(-1/m)^2)}{2\cdot (-1/m)} \end{cases}$$ $$\Rightarrow Subtraindo \ as \ equações \ e \ simplificando: \Rightarrow x = p$$ Ou seja, o lugar geométrico é uma $$Reta \ vertical \ em \ x=p$$