Coloquemos $Z$ na sua forma trigonométrica: $Z = cis(\frac{\pi}{6})$ ¹. Sabendo que $S$ é uma P.G. de primeiro termo $1$ e razão $Z$, temos: $$S = \frac{Z^{51} - 1}{Z - 1} = \frac{cis(8\pi + \frac{\pi}{2}) - 1}{cis(\frac{\pi}{6}) - 1} = \frac{cis(\frac{\pi}{2}) - 1}{cis(\frac{\pi}{6}) - 1}$$ Utilizando a identidade $cis(\theta) -1 = 2\cdot i\cdot \sin(\frac{\theta}{2})\cdot cis(\frac{\theta}{2})$ ² , temos:$$S = \frac{2\cdot i\cdot \sin(\frac{\pi}{4})\cdot cis(\frac{\pi}{4})}{2\cdot i\cdot \sin(\frac{\pi}{12})\cdot cis(\frac{\pi}{12})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}} \cdot cis^{\frac{1}{4} - \frac{1}{12}}(\pi)$$$$S = \sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt 3} \cdot cis \left(\frac{\pi}{6} \right) \space = \space \sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt 3} \cdot \left(\frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2} i \right)$$ Seja $\Re (S)$ a parte real de $S$, então $\Re (S) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt{2+\sqrt 3}$, temos:$$\Re(S) = \space 0,7 \cdot 1,7 \cdot \underbrace{\sqrt{3,17\space}}_{\approx \space 1,8} \space \approx \space \frac{7}{10} \cdot \frac{17}{10} \cdot \frac{18}{10} = 2,142$$ Portanto, $\Re(S) \approx 2,142$ que pertence ao intervalo $\boxed{(2;\space 3)}$ Alternativa $\mathbb{(E)}$ Notas: ¹ $cis(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. ² A demonstração desta identidade pode ser encontrada no livro Matemática Em Nível IME ITA - Complexos e Polinômios - Caio Guimarães.