Resolução EN 2016 Matemática

16 EN 2016 - Matemática

Sejam $r_{1}, r_{2}$ e $r_{3}$ as raízes do polinômio $P (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ , Sabendo-se que as funções $f_{1} (x) = l o g (4 x^{2} - k x + 1)$ e $f_{2} (x) = x^{2} - 7 arcsen (w x^{2} - 8)$ , com $k$ , $w \in R$ , são tais que $f_{1} (r_{1}) = 0$ e $f_{2} (r_{2}) = f_{2} (r_{3}) = 4$ , onde $r_{1}$ é a menor raiz positiva do polinômio $P (x)$ , é correto afirmar que os números $(w + k)$ e $(w - k)$ são raízes da equação:

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Podemos ver que na primeira equação, $x=1$ é raiz de $x³-x²-4x+4$. Por Briot-Ruffini tiramos que: $$x³-x²-4x+4=(x-1)(x²-4)$$ Logo: $$r1=1$$ $$f1(1)=0=log(4-k+1)$$ $$4=k$$ Então: $$f2(-2)=f2(2)=4=4-7arcsen(4w-8)$$ $$w=2$$ Dessa forma as raízes são $6$ e $-2$: Soma das raízes $S=4$ Produto = $-12$ Logo a equação é:$$x²-4x-12$$

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