A expansão $\Large{\left(\frac{1}{\sqrt 2} - \frac{1}{\sqrt 5} \right)^6}$ tem como termo geral $\large{\binom{6}{k} } \cdot \large{\left(\frac{1}{\sqrt 2} \right)^{6-k}\left(-\frac{1}{\sqrt 5} \right)^k}$ . Como o grau é 6, então o seu termo central será quando $k = 3$ . Logo: $\large{\binom{6}{3} } \cdot \large{\left(\frac{1}{\sqrt 2} \right)^{3}\left(- \frac{1}{\sqrt 5} \right)^3}$ $=$ $\Large{\frac{6!}{3!\cdot 3!}}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt {10}}\right)^3$ $=$ $-\Large{\frac{\sqrt{10}}{5}}$ é raíz. Agora, a quantidade de soluções de $\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$ : Somando $\cos^2 x$ na igualdade, temos: $\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 9\cos^2 x = \cos^2 x$ $\implies$ $(\sin x - 3\cos x)^2 = \cos^2 x$ Logo: $\sin x - 3\cos x = \pm \cos x$ $\implies$ $\sin x = 2\cos x$ ou $\sin x = 4\cos x$ Para $\sin x = 2\cos x$ : $\sin^2 x = 4\cos^2 x$ $\implies$ $5\sin^2 x = 4 $ , portanto: $\sin x = \pm \frac{2}{\sqrt 5}$ Para $\sin x = 4\cos x$ : $\sin^2 x = 16\cos^2 x$ $\implies$ $17\sin^2 x = 16 $ , portanto: $\sin x = \pm \frac{4}{\sqrt {17}}$ Portanto, para os dois casos, temos $\color{red}{4}$ soluções. Então são raízes da equação biquadrada: $-\Large{\frac{\sqrt{10}}{5}}$ , $4$ $\in$ $x$ $\implies$ $B(x) = x^4 + bx^2 + c = 0$ . Perceba que, se $\Large{\frac{\sqrt{10}}{5}}$ , $4$ são raízes, então $ \Large{\frac{\sqrt{10}}{5}}$ , $- 4$ também são! Assim, podemos fatorar $B(x) = (x-\frac{2}{5})(x-16) =\color{yellow}{ x^4 - 16,4x^2 + 6,4}$ Portanto, a soma dos coeficientes é: $\boxed{1-16,4 + 6,4 = -9}$