Seja $n$ o menor inteiro pertencente ao domínio da função real de variável real $f(x)=\ln\sqrt[3]{\dfrac{e^x+1}{\left(\dfrac{27}{64}\right)-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{(x+1)}}}$. Podemos afirmar que $\log_n 3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\cdots}}}$ é raiz da equação


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Igor Ribeiro 09/12/2021 12:48
A definição do logaritmo natural (que também se define no domínio da função $f$ ) é da forma $\ln y$, $y>0$. Logo, define-se que $\frac{e^x + 1}{\left(\frac{27}{64}\right) - \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1}} >0$. Perceba, por definição $e^x + 1 >0$ $\forall (x) \in \Re$, logo: $\left(\frac{27}{64}\right) - \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} >0$, temos $\left(\frac{3}{4}\right)^{3} > \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1}$ $\Rightarrow$ $\left(\frac{4}{3}\right)^{-3} > \left(\frac{4}{3}\right)^{-x-1}$, aplicando o logaritmo das bases na desigualdade, temos: $(-3)\cdot \ln \left(\frac{4}{3}\right) > (-x-1)\cdot \ln \left(\frac{4}{3}\right)$ $\Rightarrow$ $-3>-x-1$, portanto $x>2$. Também se define $D_f = (2, + \infty)$. Se $n=min (D_f) \in \mathbb{Z}$, portanto $n=3$. Terminado todo esse processo de calcular $n = 3$, calculemos $\log_3 3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdots}}}$. $3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdots}}} = 3^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\cdots}$, sabendo que: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\cdots = 1+1 = 2$, temos que: $\log_3 3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdots}}} = \log_3 3^2 = 2$. Agora, o último passo é identificar qual alternativa possui o $2$ como raiz da equação. Destrinchando as possibilidades de cada equação, ou a partir de uma breve observação, é fácil ver que $2$ é raiz da alternativa $C$, pois: $x^4 - 4x^2 - x + 2 = 0$ $\Rightarrow$ $2^4 - 4\cdot 2^2 - 2 + 2$ $=$ $16 - 16 - 2 + 2 = 0$
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