Consideremos $\log x = b$ . Da equação do enunciado, temos: $\large{2[1+\frac{1}{2b}] = [-\frac{1}{b}}]^2$ $\implies$ $2 + \large{\frac{1}{b}}$ $=$ $\large{\frac{1}{b^2}}$ $\implies$ $\large{\frac{1}{b^2} - \frac{1}{b}} = 2$ . Agora podemos completar esse quadrado, transformando num trinômio quadrado perfeito: $\large{\frac{1}{b^2}}$ $-$ $2\cdot \large{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{b}}$ $+$ $\large{\frac{1}{4}}$ $=$ $2$ $+$ $\large{\frac{1}{4}}$ $=$ $\large{\frac{9}{4}}$ $\implies$ $\large{(\frac{1}{b} - \frac{1}{2})^2}$ $=$ $\large{\frac{3}{2}}$ Assim: $\large{\frac{1}{b}}$ $=$ $\large{\frac{1 \pm 3}{2}}$ $\implies$ $\large{\frac{1}{b}}$ $=$ $\{-1, \space 2\}$ $\implies$ $b = \{-1,\space \frac{1}{2}\}$ Como $\log x = b$ , então: $\log x = -1$ $\implies$ $x = \large{\frac{1}{10}}$ e $\log x = \large{\frac{1}{2}}$ $\implies$ $x = \sqrt{10}$ $\implies$ $x = \{\frac{1}{10}, \space \sqrt{10}\}$ Produto das raízes: $\boxed{\frac{1}{10} \cdot \sqrt{10} = \frac{\sqrt{10}}{10}}$ Alternativa $\mathbb{(C)}$