Para encontrar a reta tangente ao gráfico de uma função genérica $g(x)$ no ponto $(x_0, g(x_0))$, sabemos que o ponto $(x_0, g(x_0))$ pertence à reta e o coeficiente angular desta reta é precisamente $g'(x_0)$. Para resolver a questão, precisaremos calcular então $f'(x)$ e $f''(x)$ utilizando a regra da cadeia, do produto, e do quociente: $$f'(x) = \dfrac{(2x-3)e^{\sqrt{x^2-3x}}}{2\sqrt{x^2-3x}}$$ $$f''(x) = \dfrac{(2x-3)^2e^{\sqrt{x^2-3x}}}{4(x^2-3x)} + \dfrac{e^{\sqrt{x^2-3x}}}{\sqrt{x^2-3x}} -\dfrac{(2x-3)^2e^{\sqrt{x^2-3x}}}{2(x^2-3x)^{3/2}} $$ Para $L_1$, seu coeficiente angular é $f'(-1)$, ou seja $-\dfrac{5e^2}{4}$ e $(-1, e^2)$ pertence a ela, logo $$L_1: y = -\dfrac{5e^2}{4}x - -\dfrac{e^2}{4} $$ Para $L_2$, seu coeficiente angular é $f''(-1)$ (reta tangente à função $y=f'(x)$) que é $\dfrac{41e^2}{32}$ e passa pelo ponto $\left(-1, -\dfrac{5e^2}{4} \right)$, logo $$L_2: y = \dfrac{41e^2}{32}x + \dfrac{e^2}{32}$$ Por fim, fazendo a intersecção de $L_1$ e $L_2$ encontraremos a abscissa $$-\dfrac{1}{9} \Rightarrow Letra \ A$$