Sejam $f$ e $g$ funções reais definidas por $f(x) = 2\sin^2 x+ 6\cos x$ e $g(x)=k +\cos2x$ , $k\in\mathbb{R}$. Se $f(\frac{\pi}{3})+g(\frac{7\pi}{4})=\frac{19}{2}$, então a soma das soluções da equação $f(x) =g(x)$ no intervalo $\left]\frac{21\pi}{11},\frac{16\pi}{5}\right[$ é


img
Nicholas Admin 16/01/2022 20:24
Se $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)+g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{19}{2}$, então:$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right)+6\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + k+\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right)=\frac{19}{2}$$$$2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+k+0=\frac{19}{2}$$$$k=\frac{19}{2}-\frac{3}{2}-3\\\boxed{k=5}$$Então $g(x)=5+\cos{2x}$. Portanto, para $f(x)=g(x)$:$$2\sin^2x+6\cos{x} = 5+\cos{2x}$$Expandindo $\cos{2x}$:$$2\sin^2x+6\cos{x}=5+\cos^2x-\sin^2x$$Transformando $\sin^2x=1-\cos^2x$:$$2(1-\cos^2x)+6\cos{x}=5+\cos^2x-(1-\cos^2x)$$Para simplificar, chamando $y=\cos{x}$:$$2-2y^2+6y=5+y^2-1+y^2$$$$2y^2-3y+1=0$$Soluções: $y=\dfrac{1}{2}$ e $y=1$, ou seja, $\cos{x}=\dfrac{1}{2}$ ou $\cos{x}=1$. Assim, teremos soluções da forma:$$\begin{cases}\frac{\pi}{3}+2k\pi\\-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\2k\pi\end{cases}\quad,k\in\mathbb{Z}$$O intervalo de soluções que o enunciado indica corresponde ao intervalo entre $2\pi-\frac{\pi}{11}$ e $3\pi+\frac{\pi}{5}$. Assim, os valores de $x$ que se encaixam no nosso conjunto-solução são:$$x_1=2\pi\text{ e }x_2=2\pi + \frac{\pi}{3}$$Portanto, a soma das soluções $x_1+x_2=\dfrac{13\pi}{3}\Rightarrow\boxed{\text{Gab. B)}}$
Modo de Edição
0 / 5000