A priori, como sabemos $y'(x)$, é imediato ver que podemos integrar essa função para obtermos $y(x)$. Assim, temos: $$ y'(x) = e^{3x} +\frac {1} {x^2+2x+2} +\frac {1} {1 - 3x} $$ $$ \int y'(x) dx = \int( e^{3x} +\frac {1} {x^2+2x+2} +\frac {1} {1 - 3x}) dx$$ $$ y(x) = \int e^{3x} dx + \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}dx + \int\frac{1}{1 - 3x} dx$$ Onde distribuimos a integral em cada fator de $ y'(x)$. Bem, agora sabemos muito bem o que fazer. Resolvendo a primeira integral acima, podemos relembrar que ela é uma integral imediata. Logo, obtemos:$$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}$$ O método para a resolução da segunda integral não parece tão óbvia, mas podemos perceber que o denominador do termo dessa integral parece muito um produto notável do tipo $(x+1)^2$. Assim, "forçando" que esse produto notável apareça, temos: $$ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx$$ Opa, agora conhecemos esse tipo de integral. Chamando de $u$ o termo $(x+1)$ ,concluímos: $$\int\frac{1}{u^2 +1} du = arctan(u) = arctan(x+1)$$ Agora, na terceira integral, podemos usar o método da substituição para resolvê-la. Portanto, chamando de $v$ a expressão $ 1 - 3x$, temos: $$ v = 1 - 3x$$$$dv = -3dx $$$$dx = -\frac{1}{3}dv$$$$\int \frac{1}{1-3x}dx = \int\frac{1}{v}(-\frac{1}{3})dv = -\frac{1}{3} ln(v) = -\frac{1}{3}ln(1 - 3x)$$ Assim, $y(x)$ vale:$$ \frac{1}{3}e^{3x} + arctan(x+1) -\frac{1}{3}ln(1 - 3x) + c$$ Onde $c$ é a constante de integração. Para achar a constante de integração, podemos usar a informação que $y(0) = \frac{\pi}{4} +\frac{4}{3}$ e a expressão acima: $$ y(0) = c + \frac{1}{3}e^0 + arctan(1) - \frac{1}{3}ln(1) = \frac{\pi}{4} + c +\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{4}{3}$$$$\implies c = 1$$ Finalmente:$$ y(-1) = 1 + \frac{1}{3}e^{-3} + actan(0) - \frac{1}{3} ln(4)$$$$1 + \frac{1}{3}e^{-3} - \frac{2}{3}ln(2)$$$$\frac{3 - 2ln2 + e^{-3}}{3}$$ Portanto, temos que a resposta está na: LETRA D)