Os pontos $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2,y_2)$ são soluções do sistema de equações$$\begin{cases}\sin(x+y)+\sin(x-y)=2 \\ \sin x+\cos y=2 \end{cases}$$onde $x\in[0,2\pi]$ e $y\in[0,2\pi]$. A distância desde $A$ até $B$ é


img
Nicholas Admin 16/10/2021 21:39
Dada a equação $a + b = 2$ com $a,b\in\mathbb{R}$sendo sempre $a\le1$ e $b\le1$, é evidente que a soma de $a$ e $b$ apenas será igual a $2$ quando ambos assumirem o seu valor máximo, $a=b=1$. Todos os outros pares $(a,b)$ darão soma menor que $2$. Nas equações do enunciado, não é diferente: a única forma para que uma soma de duas funções trigonométricas de variável real e valor máximo $1$ seja igual a $2$ é quando ambas as funções assumam valor máximo $1$. Assim, o sistema de equações fica:$$\begin{cases}x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ x-y=\frac{\pi}{2}+2\ell\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+2m\pi\\ y=2n\pi\end{cases}$$Com $k,\ell,m,n\in\mathbb{Z}$. Substituindo as duas últimas equações nas duas primeiras, ficamos com:$$\begin{cases}\frac{\pi}{2}+2m\pi+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ x-2n\pi=\frac{\pi}{2}+2\ell\pi\end{cases}$$$$\begin{cases}y=2p\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+2q\pi\end{cases}\quad p,q\in\mathbb{Z}$$Assim, no domínio $x,y\in[0,2\pi]$ das funções trigonométricas, $A=(\frac{\pi}{2}, 0)$ e $B=(\frac{\pi}{2}, 2\pi)$ (ou vice-versa). Portanto a distância euclidiana entre os dois pontos é $|A-B|=\boxed{2\pi}\text{ Gab. d)}$
Modo de Edição
0 / 5000