Dado que terna está em progressão aritmética estritamente crescente, é possível escrever:\begin{matrix} (H; \ H +r ; \ H + 2r) &,& r > 0 \end{matrix}Agora, infelizmente não há muito a se fazer, ou seja, é necessário dividir em casos e ver o que ocorre. Vamos supor que $H=1$, então:\begin{matrix} (1; \ 1 +r ; \ 1 + 2r) \end{matrix}Assim, o fator limitante é o $1+2r$, dado que este não pode ultrapassar $59$. Por isso, têm-se como possibilidades:\begin{matrix} r = 1,2, \dots , 29 \end{matrix}Cada valor de $r$ é um caso distinto a ser computado, quer dizer, para $H=1$ existem $29$ possibilidades. Adiante, o processo é completamente análogo; fixa-se uma valor para $H$ garantindo $H+2r \le 59$. Assim, constata-se:\begin{align*} H &= \{1\} &\Rightarrow \text{29 possibilidades} \\ H &= \{2,3\} &\Rightarrow \text{28 possibilidades} \\ H &= \{4,5\} &\Rightarrow \text{27 possibilidades} \\ H &= \{6,7\} &\Rightarrow \text{26 possibilidades} \\ H &= \{8,9\} &\Rightarrow \text{25 possibilidades} \\ H &= \{10,11\} &\Rightarrow \text{24 possibilidades} \\ H &= \{12\} &\Rightarrow \text{23 possibilidades} \end{align*}Com isso, para um intervalo de $12 \pu{h}$, há:\begin{matrix} 29 + 2(28+27+26+25+24) + 23 = 312 \ \text{casos} \end{matrix}Como um dia apresenta $24 \pu{h}$, todos os casos se repetem uma única vez, logo, o número total é o dobro. Portanto, num único dia a terma está em progressão aritmética estritamente em: $\text{624 casos}$ $\tiny{\blacksquare}$