Seja $z \in \mathbb{C}$. Se a representação dos números $4, z+2$ e $z^2$ no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento do seu lado é igual a:


img
Diego Admin 20/01/2022 14:03
Como $4,z+2$ e $z^2$ formam um triângulo equilátero, temos que: $$|z^2 - 4| = |(z+2) - 4| = |z^2 - (z+2)|$$ ou seja, $$|(z-2)(z+2)| = |z-2| = |(z+1)(z-2)|$$ Se $z=2$ as duas igualdades são verdadeiras, porém $4,z+2 = 4$ e $z^2 = 4$ serão colineares e não formarão um triângulo, logo $z \ne 2$ e obtém-se $$|(z+2)| = 1 = |(z+1)|$$ A primeira equação $|z+2| = 1$ representa uma circunferência de centro $(-2,0)$ e raio $1$ no plano complexo, ou seja $z$ deve ser algum ponto dessa circunferência. Da mesma forma $|z+1| = 1$ representa uma circunferência centrada em $(-1,0)$ e raio $1$ no plano complexo e $z$ deve ser algum ponto dela. Ou seja, $z$ deve ser interseção dessas duas circunferências. Voltando ao enunciado, quer-se o valor do lado do triângulo, que pode ser calculado por $|(z+2)-4| = |z-2|$. Observa-se que ambos os pontos de interseção das circunferências citadas são simétricos em relação ao eixo real no plano complexo: $(-3/2, \pm \sqrt{3}/2)$ para o cálculo do módulo $|z-2|$ não é necessário saber se o sinal é $+$ ou $-$, pois $|(-3/2 - 2, \pm \sqrt{3}/2)| = \sqrt{49/4 + 9/4} = \sqrt{13}$ independentemente do sinal do valor imaginário de $z$, assim o lado do triângulo mede $\sqrt{13}$ $$Letra \ E$$
Modo de Edição
0 / 5000