Seja um cometa numa órbita elíptica com as distâncias do afélio, , e periélio, . Com o Sol num dos focos como origem de um sistema de coordenadas polares, a equação que descreve o módulo do vetor posição em função do ângulo medido a partir do periélio é , em que e são constantes, sendo . Expresse a excentricidade , a constante e o período da órbita em função de e .
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mesmo! 
$a)$ Veja que a distância do Periélio será dado quando o cosseno de $\theta$ for igual a zero, portanto:
$$\ r(\theta) = \dfrac{\alpha}{1 + \epsilon \cos \theta} \Rightarrow r(0^\circ) = \dfrac{\alpha}{1 + \epsilon} = r_{p}.$$
Além disso, quando $\theta$ for igual a $180^\circ$, teremos a distância do Afélio. Logo,
$$r(180^\circ) = \dfrac{\alpha}{1 - \epsilon} = r_{a}$$
Então,
$$(1 + \epsilon)r_{p} = (1 - \epsilon)r_{a} \Rightarrow \epsilon = \dfrac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}.$$
$b)$ Com a expressão para excentricidade, basta voltar em qualquer uma das equações.
$$r_{p}\left[1 + \dfrac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}\right] = \alpha$$
$$\alpha = \dfrac{2r_{a}r_{p}}{r_{a} + r_{p}}.$$
$c)$ Com conhecimento da terceira Lei de Kepler, podemos escrever que
$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{GM}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{(r_{a} + r_{p})^{3}}{8GM}}.$$
