Sejam $a$ e $b$ números inteiros positivos. Se $a$ e $b$ são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ e o termo independente de $\left(ax-\frac{b}{\sqrt{x}}\right)^{12}$ é igual a $7920$, então $a+b$ é


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ITA IIIT 26/11/2021 23:38
$-$ Segundo o enunciado, temos: \begin{matrix} b = \frac{1}{2}.a \end{matrix}Assim:\begin{matrix} (a.x - \frac{a}{2.\sqrt{x}})^{12} &\Rightarrow& a^{12}.(x - \frac{1}{2.\sqrt{x}})^{12} \end{matrix}Conhecendo o $Termo \ Geral \ do \ Binômio \ de \ Newton$: \begin{matrix} (x+y)^n \Rightarrow T_{k+1} ={n \choose k} .x^{n-k}.y^k \end{matrix}Dessa forma, \begin{matrix} [x + \frac{(-1)}{2.\sqrt{x}}]^{12} \\ \\ T_{k+1} ={12 \choose k} .x^{12-k}.(-1)^k.(\frac{x^{-1/2}}{2})^k \\ \\ T_{k+1} ={12 \choose k} .x^{12-3k/2}.(-2^{-1})^k \end{matrix} \begin{matrix}12 -\frac{3.k}{2} = 0 &\Rightarrow& k = 8 &\therefore& T_{9} ={12 \choose 8} .{\large{\frac{1}{2^8}}} \end{matrix}Portanto:\begin{matrix} a^{12}.{12 \choose 8}.{\large{\frac{1}{2^8}}} = 7920 &\Rightarrow& a^{12} =2^{12} &\Rightarrow & a = 2 \ , \ b =1 &\therefore& a+b =3 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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