Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: , , e . Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for , ele dá um passo na direção Norte; se , em direção Sul, se , na direção Leste e se , na direção Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?
$-$ Primeiramente, vejamos nosso espaço amostral $(W)$; há seis passos que devemos dar, e para cada passo há $4$ opções, podemos escrever:\begin{matrix} \#W = 4.4.4.4.4.4 = 4^6
\end{matrix}Agora, iremos encontrar nosso evento favorável $(A)$ dividindo em casos:
• Três passos para o Norte e três para o Sul\begin{matrix} C_{6}^{3}.C_{3}^{3} = 20
\end{matrix}• Três passos para o Leste e três para o Oeste\begin{matrix} C_{6}^{3}.C_{3}^{3} = 20
\end{matrix}• Dois passos para o norte, dois para o sul, um para o leste e um para o oeste\begin{matrix} C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.C_{2}^{1}.C_{1}^{1} = 180
\end{matrix}• Dois passos para o leste, dois para o oeste, um para o sul e um para o norte\begin{matrix} C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.C_{2}^{1}.C_{1}^{1} = 180
\end{matrix}Somando, temos: $20+20+180+180 = 400$ \begin{matrix} \#A = 4^2.5^2
\end{matrix}A probabilidade solicitada: \begin{matrix} P(A) = {\large{\frac{\#A}{\#W}}} = {\large{\frac{4^2.5^2}{4^6}}} = {\large{\frac{25}{216}}}
\end{matrix}
