$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ e $n\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0\\ n & n \end{bmatrix}$. Ademais, ao calcular as potências de $M$, percebe-se que o padrão estabelecido é tal que:$$M^r = \begin{bmatrix} 1 & 2r\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$Assim, temos $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}M^k = \begin{bmatrix} n & 2(1+2+3+\cdots)\\ 0 & n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & n(n+1)\\ 0 & n \end{bmatrix}$. Logo:$$\det \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}M^k - \begin{bmatrix} n & 0\\ n & n \end{bmatrix}\right) = \det \left(\begin{bmatrix} 0 & n(n+1)\\ -n & 0 \end{bmatrix}\right) = n^2(n+1).$$ Do enunciado, temos:$$n^2(n+1) = 252 = 6^2\cdot (6+1) \implies \boxed{n = 6}$$ $$\text{Alternativa } \mathbb{(C)}$$