Três pessoas, aqui designadas por , e , realizam o seguinte experimento: recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal ou o sinal , passando em seguida a , que mantém ou troca o sinal marcado por e repassa o cartão a . Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Sendo de a probabilidade de escrever o sinal e de as respectivas probabilidades de e trocarem o sinal recebido, determine a probabilidade de haver escrito o sinal sabendo-se ter sido este o sinal ao término do experimento.
$-$ O problema trata de $Probabilidade \ Condicional$, visto que já sabemos o resultado do experimento (termina com sinal de +). Dessa forma, simplificando o problema, vamos começar encontrando o espaço amostral $(W)$ dividindo em dois casos:
• $A$ começa negativo: \begin{matrix}
{\large{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}} = {\large{\frac{4}{3^3}}} & \color{royalblue}{(-) \ , \ mantém \ , \ troca}
\\
{\large {\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} }} = {\large{\frac{4}{3^3} }} &\color{royalblue}{(-) \ , \ troca \ , \ mantém }
\end{matrix}• $A$ começa positivo:
Perceba que esse será nosso evento favorável $(X)$, pois é exatamente isso que a questão pede, continuando: \begin{matrix}
{\large{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} }}= {\large{\frac{4}{3^3} }}&\color{royalblue}{(+) \ , \ troca \ , \ troca}
\\
{\large{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}} = {\large{\frac{1}{3^3} }} & \color{royalblue}{(+) \ , \ mantém \ , \ mantém }
\end{matrix}• $W \ e \ X$ \begin{matrix} \#W = {\large{\frac{4}{3^3}}}+ {\large{\frac{4}{3^3}}} + {\large{\frac{4}{3^3}}} + {\large{\frac{1}{3^3}}} = {\large{\frac{13}{3^3}}} \\ \\
\#X= {\large{\frac{4}{3^3}}} + {\large{\frac{1}{3^3}}} = {\large{\frac{5}{3^3}}}
\end{matrix}• $P(X)$ \begin{matrix} P(X) = {\large{\frac{\#X}{\#W} }}= {\Large{\frac{\frac{5}{3^3}}{\frac{13}{3^3}}}} &\therefore& P(X) = {\large{\frac{5}{13}}}
\end{matrix}
