Três pessoas, aqui designadas por $A$, $B$ e $C$, realizam o seguinte experimento: $A$ recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal $+$ ou o sinal $−$, passando em seguida a $B$, que mantém ou troca o sinal marcado por $A$ e repassa o cartão a $C$. Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Sendo de $1/3$ a probabilidade de $A$ escrever o sinal $+$ e de $2/3$ as respectivas probabilidades de $B$ e $C$ trocarem o sinal recebido, determine a probabilidade de $A$ haver escrito o sinal $+$ sabendo-se ter sido este o sinal ao término do experimento.

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ITA IIIT 26/11/2021 17:30
$-$ O problema trata de $Probabilidade \ Condicional$, visto que já sabemos o resultado do experimento (termina com sinal de +). Dessa forma, simplificando o problema, vamos começar encontrando o espaço amostral $(W)$ dividindo em dois casos: • $A$ começa negativo: \begin{matrix} {\large{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}} = {\large{\frac{4}{3^3}}} & \color{royalblue}{(-) \ , \ mantém \ , \ troca} \\ {\large {\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} }} = {\large{\frac{4}{3^3} }} &\color{royalblue}{(-) \ , \ troca \ , \ mantém } \end{matrix}• $A$ começa positivo: Perceba que esse será nosso evento favorável $(X)$, pois é exatamente isso que a questão pede, continuando: \begin{matrix} {\large{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} }}= {\large{\frac{4}{3^3} }}&\color{royalblue}{(+) \ , \ troca \ , \ troca} \\ {\large{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}} = {\large{\frac{1}{3^3} }} & \color{royalblue}{(+) \ , \ mantém \ , \ mantém } \end{matrix}• $W \ e \ X$ \begin{matrix} \#W = {\large{\frac{4}{3^3}}}+ {\large{\frac{4}{3^3}}} + {\large{\frac{4}{3^3}}} + {\large{\frac{1}{3^3}}} = {\large{\frac{13}{3^3}}} \\ \\ \#X= {\large{\frac{4}{3^3}}} + {\large{\frac{1}{3^3}}} = {\large{\frac{5}{3^3}}} \end{matrix}• $P(X)$ \begin{matrix} P(X) = {\large{\frac{\#X}{\#W} }}= {\Large{\frac{\frac{5}{3^3}}{\frac{13}{3^3}}}} &\therefore& P(X) = {\large{\frac{5}{13}}} \end{matrix}
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